关于 Schneider 差体的极体

1970 年，Schneider 引入了凸体 $K\subset\mathbb R^n$ 的差体 $DK$ 的 $m$ 阶扩展，即 $\mathbb R^{nm}$ 中的凸体 $D^m(K)$。他猜想当 $K$ 的体积固定时，其体积在椭球体处取得最小值。在这项工作中，我们解决了该问题的一个对偶版本：我们证明了 $D^m(K)$ 的极体的体积恰好由椭球体最大化。对于 $m=1$，这恢复了著名的 Blaschke-Santal\'o 不等式的对称情形。我们还表明，与这一新不等式相反，Schneider 的猜想无法使用标准的对称化技术来解决。作为我们结果的应用，我们 \'a la Bourgain-Milman 渐近地证明了 Schneider 的猜想。我们还考虑了一个泛函版本。