表面积上的布利希费尔特型不等式

1921 年，布利希费尔特给出了凸体内包含的整点数量的上界，该上界以该凸体的体积表示。更确切地说，他证明了只要 $K\subset\R^n$ 是包含 $n+1$ 个仿射无关整点的凸体，就有 #(K\cap\Z^n)\leq n! \vol(K)+n。本文证明了关于表面积 $\F(K)$ 的类似不等式，即 #(K\cap\Z^n) < \vol(K) + ((\sqrt{n}+1)/2) (n-1)! \F(K)。证明基于对布利希费尔特界在 $K$ 为格点多边形的非格平移（即 $K=t+P$，其中 $t\in\R^n\setminus\Z^n$ 且 $P$ 为具有整顶点的 $n$ 维多面体）情况下的轻微改进。此时有 #((t+P)\cap\Z^n)\leq n! \vol(P)。此外，在三维情形下，我们证明了一个更强的不等式，即 #(K\cap\Z^n) < \vol(K) + 2 \F(K)。