平面卷积体的体积问题研究

对于每一个凸体 $K \subset \mathbb R^n$ 和 $\delta \in (0,1)$，$\delta$卷积体定义为满足 $|K \cap (K+x)|_n \geq \delta |K|_n$ 的集合 $x \in \mathbb R^n$。我们证明对于 $n=2$ 和任意 $\delta \in (0,1)$，椭圆体并不最大化固定体积下所有凸体的 $\delta$卷积体的体积。这一行为有些意外，违反了极限情形 $\delta \to 1^-$ 的情况，该情形由 Petty 投影不等式控制。