关于凸体表面积的一种切片问题

我们研究针对表面积而非体积的切片不等式。这是如下问题：是否存在一个依赖于（或不依赖于）维数 $n$ 的常数 $\alpha_n$，使得 $$S(K)\leq\alpha_n|K|^{\frac{1}{n}}\max_{\xi\in S^{n-1}}S(K\cap\xi^{\perp })$$ 其中 $S$ 表示表面积，$|\cdot |$ 表示体积。对于任意固定维数，我们对这个问题给出否定答案，也对一个较弱版本（其中截面被替换为到超平面的投影）给出否定答案。我们还研究了低维截面与投影以及凸体所有拟容度积分的同一问题。从这些提问出发，我们还引入了一些关联体积与表面积的自然参数，并给出它们的最优上下界。最后，我们表明，与前述否定结果相反，一个由表面积版本的等距 Busemann--Petty 问题与切片问题等价性自然产生的该问题变体具有肯定答案。