凸体截面 Busemann-Petty 问题的解析解
度量几何
2016-09-07 v1
摘要
我们导出一个公式，将 R^n 中原点对称星形的平行截面函数的各阶导数与该形体径向函数幂次的傅里叶变换相联系。平行截面函数（或 (n-1) 维 X 射线）给出形体所有垂直于给定方向的超平面截面的 ((n-1) 维) 体积。该公式为 R^n 中交集体提供了新的刻画，并导出 Busemann-Petty 问题统一的解析解：设 K 与 L 是 R^n 中两个原点对称凸体，使得 K 的每个中心超平面截面的 ((n-1) 维) 体积都小于 L 相应截面的体积；那么 K 的 (n 维) 体积是否小于 L 的体积？结合先前建立的 Busemann-Petty 问题、交集体与正定分布之间的联系，我们的公式表明该问题的答案取决于平行截面函数 (n-2) 阶导数的性质。对 n≤4 的肯定回答与对 n≥5 的否定回答，现可由凸性控制二阶导数而不控制更高阶导数的事实得出。
引用
@article{arxiv.math/9903200,
title = {An analytic solution to the Busemann-Petty problem on sections of convex bodies},
author = {Richard J. Gardner and Alexander Koldobsky and Thomas Schlumprecht},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9903200},
year = {2016}
}
备注
13 pages, published version