关于对数凹函数熵的 Busemann-Petty 问题

Busemann-Petty 问题询问：欧几里得空间 $\mathbb{R}^n$ 中具更小中心超平面截面的对称凸体是否必然具有更小体积。该问题已获完全解决，当 $n \le 4$ 时答案为肯定，当 $n\ge 5$ 时答案为否定。本文研究关于对数凹函数熵的 Busemann-Petty 问题：对于 $\mathbb{R}^n$ 中具有有限正积分的偶对数凹函数 $f$ 和 $g$，若对每一过原点的超平面 $H$，$f$ 的边缘 $\int_{\mathbb{R}^n\cap H}f(x)dx$ 均小于 $g$ 的边缘 $\int_{\mathbb{R}^n\cap H}g(x)dx$，是否有 $f$ 的熵 ${\rm Ent}(f)$ 大于 $g$ 的熵 ${\rm Ent}(g)$？关于对数凹函数熵的 Busemann-Petty 问题包含了原 Busemann-Petty 问题，因此当 $n\geq5$ 时其答案为否定。对于 $2\leq n\leq4$，我们给出关于对数凹函数熵的 Busemann-Petty 问题的肯定回答。