Hermite-Hadamard 不等式的一个推广及其在凸几何中的应用

在本文中我们证明如下结果：若 $C$ 为 $n$ 维 0-对称凸紧集，$f:C\rightarrow[0,1)$ 为凹函数，且 $g:[0,1)\rightarrow[0,1)$ 不恒为零、凸、满足 g(0)=0，则 $$\frac{1}{|C|}\int_C g(f(x))dx \leq \frac12 \int_{-1}^1g(f(0)(1+t))dt,$$ 其中 |C| 表示 $C$ 的体积。若 $g$ 严格凸，则等号成立当且仅当 $f$ 为仿射的、$C$ 为广义对称柱体且 $f$ 在 $C$ 的其中一个底面上取 0。我们利用该不等式回答了 Francisco Santos 关于通过凸集的中央截面体积来估计凸集体积的问题。其次，我们还导出了针对对数凹函数的相应估计。