近球形域上的 Hermite–Hadamard 不等式

Pasteczka 的一个推广经典 Hermite–Hadamard 不等式的猜想指出,若 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$ 是一个紧凸域,且 $\Omega$ 与 $\partial \Omega$ 具有相同的质心,则对每一个凸函数 $f: \Omega \to \mathbb{R}^d$,$f$ 在 $\Omega$ 上的平均值小于或等于 $f$ 在 $\partial \Omega$ 上的平均值。Pasteczka 证明了当 $\Omega$ 是含内切球的多面体时该猜想成立。我们通过证明如下情形下的 Pasteczka 猜想推广了这一结果:存在某点距所有与 $\partial \Omega$ 相切的超平面的距离至多为 $(d+1)|\Omega|/|\partial \Omega|$。