一个紧致的Hermite-Hadamard不等式及比较凸函数不等式残差的通用方法

我们提出一个带概率测度的紧致参数化Hermite-Hadamard型不等式，它给出了凸函数均值比经典不等式更紧的上界。我们的不等式不仅在仿射函数处取等，也在由该参数决定的一族V形曲线处取等。在任意概率测度下且对所有非仿射凸函数，该不等式的残差（误差）严格小于经典Hermite-Hadamard不等式。在Karamata凸函数不等式定理框架下，我们提出一种以类型$x\mapsto |x-u|$函数的平均残差来度量不等式全局性能的方法。使用平均残差使得我们能够将两个或多个不等式本身进行比较，可使用相同或不同的测度，且无需参照特定函数。我们的方法适用于所有Karamata型不等式，无论是积分还是求和形式。采用三种不同测度的数值实验表明，我们的不等式的平均残差约为经典右端Hermite-Hadamard的1/4，且在使用全部三种测度时也小于Jensen不等式。