Cartan-Hadamard 猜想与《小王子》

广义 Cartan-Hadamard 猜想指出，若 $\Omega$ 是一个截面曲率 $K \le \kappa \le 0$ 的完备、单连通 Riemannian $n$-流形 $M$ 中具有固定体积的区域，则当 $\Omega$ 为常曲率 $K=\kappa$ 的球形 $n$-球时，其边界具有最小的可能边界体积。$n=2$ 且 $\kappa=0$ 的情形是 Weil 的一个经典结果。我们给出了该猜想在 $n=2$ 和 $n=4$ 维且 $\kappa=0$ 时的统一证明，以及 $\kappa \textless{} 0$ 时的一个特殊情形和 $\kappa \textgreater{} 0$ 时的一个版本。我们的论证使用了一种基于光学输运、最优输运和线性规划的全新解释，来重新审视 Croke 关于 $n=4$ 且 $\kappa=0$ 的证明。推广至 $n=4$ 且 $\kappa \ne 0$ 是一个新结果。正如 Croke 隐式所做的，我们将曲率条件 $K \le \kappa$ 放宽为较弱的蜡烛条件 $Candle(\kappa)$ 或 $LCD(\kappa)$。我们还发现了 Cartan-Hadamard 猜想朴素版本的反例：对于任意 $\varepsilon \textgreater{} 0$，存在一个具有 $(1-\varepsilon)$-夹挤负曲率的 Riemannian 3-球 $\Omega$，其边界体积受 $\varepsilon$ 的某个函数控制，且体积可以任意大。我们从一个被称为“小王子问题”的逐点等周问题入手，其证明成为了更一般方法的一部分。