平面域的内在几何与边界结构

对于复平面中真子域 $\Omega$ 内的非空紧集 $E$，我们分别用 $d(E)$ 和 $d(E,\partial\Omega)$ 表示 $E$ 的直径以及 $E$ 到 $\Omega$ 边界的距离。量 $d(E)/d(E,\partial\Omega)$ 在相似变换下不变，并在几何函数论中起着重要作用。在本文中，当 $\Omega$ 具有双曲距离 $h_\Omega(z,w)$ 时，我们考虑紧子集 $E$（至少包含两个点）上量 $h_\Omega(E)/\log(1+d(E)/d(E,\partial\Omega))$ 的下确界 $\kappa(\Omega)$，其中 $h_\Omega(E)$ 表示集合 $E$ 的双曲直径。我们用 $\mathbb{H}$ 表示上半平面。我们的主要结果表明：$\kappa(\Omega)$ 为正当且仅当 $\Omega$ 的边界是一致完全的，且对所有 $\Omega$ 成立不等式 $\kappa(\Omega)\leq\kappa(\mathbb{H})$，其中等号成立当且仅当 $\Omega$ 为凸域。