Hilbert几何中渐近测地线的凸性

若 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{2}$ 中凸多边形的内部，且 $f,g$ 为两条渐近测地线，我们证明距离函数 $d\left(f\left(t\right),g\left(t\right)\right)$ 在 $t$ 足够大时为凸函数。在 $\partial \Omega$ 为 $C^{2}$ 类且 $\partial \Omega$ 在点 $f\left(\infty\right)=g\left(\infty\right)$ 处的曲率不为零的情形下，得到相同结果。并给出一个例子说明曲率假设的必要性。