凸包类性质与开集的支撑像

在本文中，作为更一般结果的特例，我们获得以下定理：设 $\Omega\subseteq {\bf R}^n$ 为非空有界开集，$f:\overline {\Omega}\to {\bf R}^n$ 为在 $\Omega$ 内 $C^1$ 类的连续函数。则下列断言中至少有一个成立：$(a)$ $f(\Omega)\subseteq \hbox {conv}(f(\partial \Omega))$。$(b)$ 存在非空开集 $X\subseteq \Omega$，满足 $\overline {X}\subseteq \Omega$，且具有如下性质：对任意在 $X$ 内 $C^1$ 类的连续函数 $g:\Omega\to {\bf R}^n$，存在 $\tilde\lambda>0$，使得对每个 $\lambda>\tilde\lambda$，函数 $g+\lambda f$ 的 Jacobian 行列式在 $X$ 的某点处为零。由此可得，若 $n=2$ 且 $h:\Omega\to {\bf R}$ 为非负函数，则对任意 $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline {\Omega})$，若其在 $\Omega$ 内满足 Monge-Amp\`ere 方程 $$u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^2=h\ ,$$ 便有 $$\nabla u(\Omega)\subseteq \hbox {conv}(\nabla u(\partial\Omega))\ .$$