Moran集上的算术

设$(\mathcal{M}, c_k,n_k)$为一类Moran集。我们假定任意$E\in (\mathcal{M}, c_k,n_k)$的凸包为$[0,1]$。令$A,B$为$\mathbb{R}$中两个非空集合。设$f$为定义在开集$U\subset \mathbb{R}^{2}$上的连续函数。以连续像记\n\begin{equation*}\nf_{U}(A,B)=\{f(x,y):(x,y)\in (A\times B)\cap U\}.\n\end{equation*}\n本文证明如下结果。设$E_1,E_2\in(\mathcal{M}, c_k, n_k)$。若存在某$(x_0,y_0)\in (E_1\times E_2)\cap U$使得\n$$\n\sup_{k\geq 1}\left\{1-c_kn_k\right\}<\left\vert \frac{\partial _{y}f|_{(x_{0},y_{0})}}{\partial _{x}f|_{(x_{0},y_{0})}}\right\vert <\inf_{k\geq 1}\left\{\dfrac{c_k}{1-n_kc_k}\right\},\n$$\n则$f_U(E_1, E_2)$包含一个内点。