三分 Cantor 集连续像的内部

设 $C$ 为三分 Cantor 集，$f$ 为定义在开集 $U\subset \mathbb{R}^{2}$ 上的连续函数。记像\n\begin{equation*} f_{U}(C,C)=\{f(x,y):(x,y)\in (C\times C)\cap U\}. \end{equation*} 若 $\partial _{x}f$、$\partial _{y}f$ 在 $U$ 上连续，且存在点 $(x_{0},y_{0})\in (C\times C)\cap U$ 使得\n\begin{equation*} 1<\left\vert \frac{\partial _{x}f|_{(x_{0},y_{0})}}{\partial _{y}f|_{(x_{0},y_{0})}}\right\vert <3\text{ 或 }1<\left\vert \frac{\partial _{y}f|_{(x_{0},y_{0})}}{\partial _{x}f|_{(x_{0},y_{0})}}\right\vert <3, \end{equation*} 则 $f_{U}(C,C)$ 具有非空内部。作为推论，若\n\begin{equation*} f(x,y)=x^{\alpha }y^{\beta }(\alpha \beta \neq 0),\text{ }x^{\alpha }\pm y^{\alpha }(\alpha \neq 0)\text{ 或 }\sin (x)\cos (y), \end{equation*} 则 $f_{U}(C,C)$ 含有非空内部。