积分的次交换性与拟算术平均

设 $(X, \mathscr{L}, \lambda)$ 与 $(Y, \mathscr{M}, \mu)$ 为有限测度空间,存在 $A \in \mathscr{L}$ 与 $B \in \mathscr{M}$ 使得要么 $0 < \lambda(A) < 1 < \lambda(X)$ 且 $0 < \mu(B) < \mu(Y)$,要么反之。此外,设 $I \subseteq \mathbb{R}$ 为非空开区间,并设 $f,g\colon I \to \mathbb{R}_{+}$ 为同胚且 $g$ 递增。我们证明:函数不等式 $$f^{-1}\!\left(\int_X f\!\left(g^{-1}\!\left(\int_Y g \circ h\;d\mu\right)\right)d \lambda\right)\! \le g^{-1}\!\left(\int_Y g\!\left(f^{-1}\!\left(\int_X f \circ h\;d\lambda\right)\right)d \mu\right)$$ 被每个 $\mathscr{L} \otimes \mathscr{M}$-可测简单函数 $h: X \times Y \to I$ 满足,当且仅当存在 $a,b \in \mathbb{R}_{+}$ 且 $b\ge 1$ 使得 $f=a g^b$。对概率空间给出了类似的刻画。