可测函数环上的度量有限拓扑

设 $\mathcal{M}(X,\mathcal{A},\mu)$ 为在度量空间 $(X,\mathcal{A},\mu)$ 上构建的全部实值可测函数的环。在此引入一种拓扑，即 {$F_\mu$-拓扑}，其弱于 {$U_\mu$-拓扑}。我们发现，该 {$F_\mu$-拓扑} 中的 {成分}、{准成分} 与 {路径成分} 完全相同。可以证明，$\mathcal{M}(X,\mathcal{A},\mu)$ 在 {$F_\mu$-拓扑} 下称为 {连通} 当且仅当其为 {路径连通} 当且仅当 $\mu$ 为一种特殊类型的 {原子测度}。还证明，{$F_\mu$-拓扑} 在且仅当 $\mu$ 为 {半有限测度} 时为 {第一可数}。最后，证明 {$F_\mu$-拓扑} 的 {第二可数性} 等价于测度 $\mu$ 为 {半有限} 且 {$F_\mu$-拓扑} 满足 {可数链条件}。