可测函数环的结构空间及相关问题

设 $S(X,\mathcal{A})$ 为定义在可测空间 $(X,\mathcal{A})$ 上的实值 $\mathcal{A}$-可测函数环。若对每个 $E\in \mathcal{A}$，其特征函数 $\chi_{E}\in S(X,\mathcal{A})$，则称 $S(X,\mathcal{A})$ 为 $\chi$-环。 equipped with Stone 拓扑 $\tau$ 的 $X$ 上所有 $\mathcal{A}$-超滤子集合 $\mathcal{U}_X$，与 equipped with 壳核拓扑 $\tau_S$ 的 $S(X,\mathcal{A})$ 中所有极大理想集合 $\mathcal{M}_X$ 的适当商空间同胚。当且仅当 $S(X,\mathcal{A})$ 是 Gelfand 环时，$(\mathcal{U}_X,\tau)$ 与 $(\mathcal{M}_S,\tau_S)$ 同胚。进一步观察到，$S(X,\mathcal{A})$ 是 Von-Neumann 正则环当且仅当该环中每个理想都是 $\mathcal{Z}_S$-理想，且 $S(X,\mathcal{A})$ 是 Gelfand 环当且仅当其每个极大理想都是 $\mathcal{Z}_S$-理想。在集合 $S(X,\mathcal{A})$ 上引入了一对拓扑 $u_\mu$-拓扑和 $m_\mu$-拓扑，并研究了它们的一些性质。