环中的理想与可测函数的中间环

在可测空间 $(X,\mathcal{A})$ 上实值可测函数环 $\mathcal{M}(X,\mathcal{A})$ 的所有极大理想之集赋予 hull-kernel 拓扑后，被证明同胚于 $X$ 上可测集的所有超滤之集 $\hat{X}$ 赋予 Stone 拓扑。这给出了用 $\hat{X}$ 的点对 $\mathcal{M}(X,\mathcal{A})$ 的极大理想的完整刻画。进一步表明，所有包含有界可测函数的 $\mathcal{M}(X,\mathcal{A})$ 的中间子环的结构空间是同一个，并且是紧 Hausdorff 零维空间。观察到当 $X$ 是一个 $P$-空间时，有 $C(X) = \mathcal{M}(X,\mathcal{A})$，其中 $\mathcal{A}$ 是由 $X$ 的零集构成的 $\sigma$-代数。