关于 $C(X)$ 上两种特殊构造拓扑所具备的若干性质

若 $I$ 是定义在吉洪诺夫 (Tychonoff) 空间 $X$ 上所有实值连续函数环 $C(X)$ 中的一个理想，则当集合 $X\setminus \bigcap Z[I]$ 是 $X$ 的有界子集时，称 $X$ 为 $I$-$伪紧$ 的。对应于 $I$，文献中已存在 $C(X)$ 上的 $m^I$-拓扑 和 $u^I$-拓扑，它们分别推广了 $C(X)$ 上众所周知的 $m$-拓扑 和 $u$-拓扑。我们证明，除其他结论外，$m^I$-拓扑 是第一可数的当且仅当 $C(X)$ 上的 $u^I$-拓扑 = $m^I$-拓扑，当且仅当 $X$ 是 $I$-$伪紧$ 的。选择 $I=C(X)$ 时，该结果的一个特例为：$C(X)$ 上的 $u$-拓扑 和 $m$-拓扑 重合当且仅当 $X$ 是伪紧的。我们进一步证明，$C(X)$ 上的 $m^I$-拓扑 是第二可数的当且仅当它是 $\aleph_0$-$有界$ 的，当且仅当 $X$ 是紧致、可度量化的且 $I=C(X)$。此外，我们认识到 $C(X)$ 上的 $m^I$ 拓扑是半紧的当且仅当它是 $\sigma$-紧的，当且仅当该拓扑是 $H$-$有界$ 的，当且仅当 $X$ 是有限的且 $I=C(X)$。