某含单位元交换环的某些子环的谱的研究

本文中环总指含单位元的交换环。众所周知，$C(X)$、$C^*(X)$ 以及 $C(X)$ 与 $C^* (X)$ 之间任意中间子环的极大谱同胚，且与 $\beta X$（$X$ 的 Stone-$\check{C}$ech 紧化）同胚。本文将此类结果通过引入稠密子环概念推广到任意环。我们证明了若 $A$ 是 $B$ 的完全正规稠密子环，则 $A$ 与 $B$ 的极大谱同胚，从而 $A$ 稠密时 $A$ 与 $B$ 之间所有中间子环的极大谱均同胚。我们还证明了 $A$ 是 $B$ 的稠密子环当且仅当 $B$ 的谱稠密嵌入于 $A$ 的谱中，并进一步表明若 $A$ 是 $B$ 的稠密子环，则 $A$ 的任意极小素理想恰为某个 $B$ 的唯一极小素理想 $Q$ 的形式 $Q\cap A$。作为推论，我们得出结论：若 $A$ 在 $B$ 中稠密，则 $A$ 与 $B$ 的极小谱同胚。我们还研究了环的稠密子环的不同性质。