某些非交换环的最大子环

我们研究了在某些非交换环中最大子环的存在问题，尤其是那些在其中心上是整环的环。我们证明，如果环 $T$ 在其中心上是整环，那么要么 $T$ 存在最大子环，要么 $T/J(T)$ 是一个至多包含 $2^{\aleph_0}$ 个最大元素的交换 Hilbert 环，且 $|T/J(T)|\leq 2^{2^{\aleph_0}}$。我们观察到，如果 $T$ 是一个在域 $K$ 上的代数 $K$-环，那么要么 $T$ 存在最大子环，要么 $U(T)$ 在 $T$ 的素子环上是整环。如果 $T$ 是一个在其中心上是整环的左 Noether 环，那么我们证明要么 $T$ 存在最大子环，要么 $|T|\leq 2^{\aleph_0}$。我们证明，如果 $T$ 是一个在其中心 $C$ 上是整环且 $J(C)=0$ 的域，那么要么 $T$ 存在最大子环，要么 $T$ 是一个整环。我们看到，如果 $T$ 是一个在其中心上是整环且中心是 Hilbert 环的简化环，那么要么 $T$ 存在最大子环，要么 $T$ 是交换环。我们看到，如果环 $T$ 在其中心上是整环且 $R$ 是 $T$ 的子环且 $J(T)\cap R\subseteq J(R)$，那么要么 $T$ 存在最大子环，要么 $J(R)=J(T)\cap R$ 且 $U(R)=U(T)\cap R$。最后，我们证明如果 $T$ 是一个由无限族环 $\{T_i\}_{i\in I}$ 的直积且每个 $T_i$ 在其中心上是整环，那么 $T$ 存在最大子环。