域的至多同构极大子环

本文研究域的至多同构极大子环。我们证明每个零特征域都有无穷多个至多同构极大子环。若$K$为代数闭域且$x$为$K$上的未定元，则我们证明含$K$的$K(x)$的整闭极大子环均同构。特别地，若$K$为绝对代数域，则$K(x)$仅有有限个至多同构整闭极大子环当且仅当$K$为代数闭域。此外，我们证明若$K$为绝对代数域，则$K$仅有有限个至多同构极大子环当且仅当$K$仅有有限个极大子环。我们证明若零特征交换环$R$仅有有限个至多同构极大子环，则$U(R)\cap\mathbb{P}$有限，其中$\mathbb{P}$为自然素数集。特别地，若$R$为零特征交换环且$Char(R/J(R))\neq 0$，则$R$有无穷多个至多同构极大子环。我们研究了域$K$的$K[x]$、$K\times K$与$K[x]/(x^2)$的至多同构极大子环。若$R$为域$K$的非域极大子环且$\mathcal{A}$为$K$的所有同构于$R$的极大子环组成的集合，则我们证明$\mathcal{A}=\{\sigma(R)\ |\ \sigma\in Aut(K)|\}$，特别地$|\mathcal{A}|\leq |Aut(K)|$。此外若$K$为无限域且$|Aut(K)|<|K|$，则$R$至少有$|K|$个至多同构整闭极大子环。