非交换环中最大子环的经典理想论

设 $R$ 为环 $T$ 中的最大子环。本文我们研究 $R\subseteq T$ 中一些重要理想之间的关系。事实上，我们希望找到 $Nil_*(R)$ 与 $Nil_*(T)$、$Nil^*(R)$ 与 $Nil^*(T)$、$J(R)$ 与 $J(T)$、$Soc({}_RR)$ 与 $Soc({}_RT)$ 以及 $Z({}_RR)$ 与 $Z({}_RT)$ 之间的某些关系；尤其是在某些情况下，例如当 $T$ 为简化环、$R$（或 $T$）为左 Artinian 环，或 $R$ 为 $T$ 的特定最大子环时。我们证明要么 $Soc({}_RR)=Soc({}_RT)$，要么 $(R:T)_r$（即包含于 $R$ 中的 $T$ 的最大右理想）是 $R$ 的左原始理想。我们证明若 $T$ 为简化环，则要么 $Z({}_RT)=0$，要么 $Z({}_RT)$ 是 $T$ 的最小理想，$T=R\oplus Z({}_RT)$，且 $(R:T)=(R:T)_l=(R:T)_r=ann_R(Z({}_RT))$。若 $T=R\oplus I$，其中 $I$ 为 $T$ 的理想，则我们完全确定 $R$ 和 $T$ 之间的雅可比根、下屈膜、上屈膜、社群和奇异理想的关系。最后，我们研究当 $R$ 或 $T$ 为左 Artinian 环时，前述理想的关系。