z-理想与 z$^0$-理想的推广

设 $R$ 为交换环，$Y\subseteq \mathrm{Spec}(R)$，且对每一 $S\subseteq R$ 定义 $h_Y(S)=\{P\in Y:S\subseteq P \}$。若由 $h_Y(a)\subseteq h_Y(b)$ 且 $a\in I$ 可推出 $b\in I$，则称理想 $I$ 为 $\mathcal{H}_Y$-理想。强 $\mathcal{H}_Y$-理想以同样方式定义，只是将任意有限集 $F$ 替代元素 $a$。本文研究这两类理想（它们基于环 $R$ 的谱，并推广了半素理想、z-理想、$z^{\circ}$-理想（d-理想）、sz-理想以及 $sz^{\circ}$-理想（$\xi$-理想）等熟知概念）。我们表明，关于这些概念的“Zariski 拓扑”、“零化子”等最重要结果均可如此推广，使得相应推论看似平凡而无用。这种综合性视角有助于更好地识别已知概念之间的相似与差异。