与拓扑动力系统相关的两个巴拿赫代数中的极大交换子代数和投影

如果$\Sigma=(X,\sigma)$是一个拓扑动力系统，其中$X$是紧豪斯多夫空间，$\sigma$是$X$的同胚，则一个交叉积巴拿赫$\sp{*}$-代数$\ell^1(\Sigma)$自然地与这些数据相关联。如果$X$由一点组成，则$\ell^1(\Sigma)$是整数的群代数。已知$C(X)$在$\ell^1(\Sigma)$中的换位子$C(X)'_1$是一个极大交换子代数，它与每个非零闭理想都有非零交集，并且$C(X)$在$C^*(\Sigma)$（$\ell^1(\Sigma)$的包络$C^*$-代数）中的换位子$C(X)'_*$也具有相同的性质。这个交集性质已被证明是研究这些代数的一个有价值的工具。受此关键作用的启发，我们在本文中详细研究了$C(X)'_1$和$C(X)'_*$。显式描述了$C(X)'_1$的极大理想空间，并发现它与它的纯态空间一致，并且是$X\times\mathbb{T}$的一个拓扑商空间。我们证明了$C(X)'_1$是埃尔米特的和半单的，并且它的包络$C^*$-代数是$C(X)'_*$。此外，我们建立了$C(X)'_1$和$C(X)'_*$上存在投影的充要条件，并给出了这些投影的显式公式，我们证明了这些投影是唯一的。在附录中，给出了局部紧豪斯多夫空间同胚的周期点的拓扑结果。