动力系统与 Banach 代数关于 $\mathbb{Z}$ 的交叉积之间的联系

从一个复交换半单正则 Banach 代数 $A$ 及其自同构 $\sigma$ 出发,我们构造 $A$ 与整数群的交叉积,其中整数群通过 $\sigma$ 的迭代作用于 $A$。该自同构在 $A$ 的特征空间 $\Delta(A)$ 上自然诱导出一个拓扑动力系统。我们证明了如下等价性:交叉积中每个非零理想与子代数 $A$ 有非零交、 $A$ 在交叉积中的极大交换性,以及所诱导系统在非周期点上的稠密性。我们还证明了交叉积中每个非平凡理想总是与 $A$ 的交换子非平凡相交。进一步,在 $A$ 有单位元且 $\Delta(A)$ 由无穷多点构成的假设下,我们证明了交叉积的简单性与所诱导系统的极小性等价,以及交叉素的素性与系统的拓扑传递性等价。