Banach代数的交叉积 I

我们从一个Banach代数动力系统$(A,G,\alpha)$和该系统的一个给定的一致有界连续协变Banach空间表示类$R$出发，构造了一个交叉积Banach代数。若$A$具有有界左逼近单位元，且$R$仅由非退化的连续协变表示组成，则交叉积的非退化有界表示与该系统的非退化$R$-连续协变表示之间存在双射。这一双射是本文的主要结果，也对对合Banach代数动力系统建立，并由此导出通常与$C^*$-代数动力系统相关联的交叉积$C^*$-代数的众所周知的表示论对应，作为特例。取代数$A$为基域，对于给定的一个非空Banach空间类，交叉积构造提供了一个结构相对简单的Banach代数，且具有如下性质：它在该类空间中的非退化压缩表示与$G$在这些空间中的等距强连续表示之间存在双射。这推广了群$C^*$-代数的概念，并可类似地用于将一类Banach空间中的群表示问题转化为一个Banach代数（比$L^1(G)$更简单，且具有更丰富的泛函分析结构）的语境中。