交叉积代数上的非交换微分几何

我们为 $H$-余模代数 $A$ 的任意裂扩张 $B:=A^{\mathrm{co}H}\subseteq A$ 提供了一个微分结构。这是通过从结构 Hopf 代数 $H$ 上的双协变微积分以及基代数 $B$ 上与交叉积的 $2$-上循环和测度相容的微积分的数据，在相应的交叉积代数 $B\#_\sigma H$ 上构造一个协变微积分来实现的。结果是一个具有典范强联络的量子主丛，并且我们描述了交叉积上的关联丛所诱导的双模协变导数。证明了量子主丛的联络与联络 $1$-形式之间存在双射。所有结果都特化到平凡扩张和 smash 积代数 $B\#H$，并且我们用裂映射 $j\colon H\to A$ 和包含 $B\hookrightarrow A$ 的微分给出了 smash 积微积分的刻画。该构造对有点 Hopf 代数给出了示例。特别地，详细给出了 Radford Hopf 代数 $H_{(r,n,q)}$ 的情形。