C*-代数的半直积及其 C*-包络

设 $\mathcal{C}$ 为一个 C*-代数，$\alpha:\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ 为一个单位 *-自同态。存在一种自然的方式，利用由 $\alpha$ 在 $\mathcal{C}$ 上的作用诱导的卷积，构造称为半直积的算子代数。我们证明，半直积的 C*-包络是交叉积的（一个全角子代数）。作为推论，我们得到，当 $\alpha$ 是 *-单射时，所有半直积完全等距同构，并共享同一个 C*-包络，即交叉积 $\mathcal{C}_\infty \rtimes_{\alpha_\infty} \mathbb{Z}$。我们证明，动力系统 $(\mathcal{C},\alpha)$ 的极小性等价于 C*-包络中不存在非平凡的傅里叶不变理想。对于交换动力系统，我们得到了更精确的结果。