与拓扑动力系统相关的 Banach 代数的代数不可约表示与结构空间

若 $X$ 是紧 Hausdorff 空间且 $\sigma$ 是 $X$ 的同胚映射，则自然地有一个交叉积类型的 Banach 代数 $\ell^1(\Sigma)$ 与该拓扑动力系统 $\Sigma=(X,\sigma)$ 相关联。若 $X$ 由单点组成，则 $\ell^1(\Sigma)$ 即为整数群代数。我们研究 $\ell^1(\Sigma)$ 在复向量空间上的代数不可约表示、其本原理想及其结构空间。有限维代数不可约表示在代数等价意义下被确定，并构造了足够丰富的无限维代数不可约表示族，从而得出 $\ell^1(\Sigma)$ 是半单的结论。$\ell^1(\Sigma)$ 的所有本原理想均为自伴的，且若 $X$ 中仅含周期点，则 $\ell^1(\Sigma)$ 是 Hermitian 的。若 $X$ 可度量化或所有点均为周期点，则所有本原理想均如我们构造所示产生。$\ell^1(\Sigma)$ 结构空间的一部分在条件成立下同胚于有限轨道空间与 $\mathbb T$ 的乘积。若 $X$ 为有限集，则其结构空间是若干个环面的拓扑不交并，每个环面对应 $X$ 中的一个轨道。若 $X$ 的所有点具有相同的有限周期，则它是轨道空间 $X/\mathbb Z$ 与 $\mathbb T$ 的乘积。对于 $\mathbb T$ 的有理旋转，这意味着结构空间同胚于 $\mathbb T^2$。