$\ell^{\infty}(X)$ 的半赋范 $\ast$-子代数

考虑了交换含幺 ($\ast$-) $\mathbb{F}$-代数 $A$ 作为 $\mathbb{F}^X$ 的子代数的任意表示，其中 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 或 $\mathbb{R}$ 且 $X\neq\emptyset$。$A$ 的 Gelfand 谱被解释为 $X$ 的一个拓扑扩张，其中在 $A$ 于 $\mathbb{F}^X$ 中的像上存在一个半范数。研究表明，在所有半范数中，$\sup$-范数具有特殊重要性，它将 $\mathbb{F}^X$ 归约为 $\ell^{\infty}(X)$。研究了 $\ell^{\infty}(X)$ 的 Banach 子代数，它由 $X$ 上所有 $\Sigma$-可测有界函数组成，其中 $\Sigma$ 是 $X$ 的子集的 $\sigma$-代数。特别地，我们研究了将正测度从 $(X, \Sigma)$ 提升至该代数的 Gelfand 谱，并观察到测度支撑的一个意外偏移。在 $\Sigma$ 为某个拓扑的 Borel 代数情形下，我们研究了 $X$ 的底层拓扑与 Gelfand 谱的拓扑之间的关系。