有界有限测度：由函数代数实现的分离与收敛

我们证明了关于可分离度量空间与Souslin空间上有界有限测度的分离性和弱$^\#$-收敛的一般结果。更确切地说，我们考虑有界实值函数的代数，或更一般地，有界复值函数的$*$-代数 $\mathcal{F}$，并给出其对于那些可积$\mathcal{F}$中所有函数的有界有限测度而言是分离性的或弱$^\#$-收敛决定性的条件。对于分离性，若 $\mathcal{F}$ 分离点、处处非零，且要么仅由可数多个可测函数组成，要么由任意多个连续函数组成，则已足够。对于收敛决定性，若 $\mathcal{F}$ 诱导出底层空间的拓扑，且每个有界集 $A$ 允许 $\mathcal{F}$ 中存在一个在 $A$ 上取值远离零的函数，则已足够。