关于波兰度量空间上 Borel 函数的几乎一致连续性

我们证明，在任意给定的有限 Borel 测度空间上，若外围空间为波兰度量空间，则每个 Borel 实值函数在如下意义下几乎是一个有界的、一致连续的函数：对任意 $\varepsilon > 0$，存在某个有界一致连续函数，使得它们不相等的点集之测度 $< \varepsilon$。特别地，该结果补充了关于外围空间为局部紧度量空间的有限 Radon 测度空间上 Borel 实值函数几乎一致连续的已知结果。作为与某些常见收敛模式相关的直接应用，在我们的假设下成立：i) 对每个 Borel 实值函数，存在某个有界一致连续函数序列依测度收敛于它；ii) 对每个有界 Borel 实值函数，存在某个有界一致连续函数序列在 $L^{p}$ 中收敛于它。