分形测度的分解结果及其在丢番图逼近中的应用

本文证明了自共形测度与仿射不可约自相似测度的分解结果。分解中出现的测度类似于满足强分离条件的迭代函数系统的自共形/自相似测度。作为结果的应用，我们证明了以下丢番图陈述：1. 利用 Pollington 和 Velani 的结果，我们证明如果 $\mu$ 是 $\mathbb{R}$ 上的自共形测度或仿射不可约自相似测度，则存在 $\alpha>0$ 使得对所有 $\beta>\alpha$ 有 $$\mu\left(\left\{\mathbf{x}\in \mathbb{R}^{d}:\max_{1\leq i\leq d}|x_{i}-p_i/q|\leq \frac{1}{q^{\frac{d+1}{d}}(\log q)^{\beta}}\textrm{ for i.m. }(p_1,\ldots,p_d,q)\in \mathbb{Z}^{d}\times \mathbb{N}\right\}\right)=0.$$ 2. 利用 Kleinbock 和 Weiss 的结果，我们证明如果 $\mu$ 是仿射不可约自相似测度，则 $\mu$ 几乎处处 $\mathbf{x}$ 不是奇异向量。