自相似测度的 Fourier 衰减界与微分像

在这篇注记中，我们研究了与满足强分离条件的迭代函数系 $\mathcal{I}=\{\rho x+a_j\}_{j=1}^m$ 及正概率向量 $\vec{p}$ 相关联的齐次自相似测度的 $C^2$ 微分像。我们证明，对于任意收缩比 $\rho\in (0, 1/m)$、任意平移向量 $\vec{a}=(a_1, \ldots, a_m)$ 和概率向量 $\vec{p}$，此类像测度的 Fourier 变换都具有幂次衰减，这推广了 Kaufman 关于 Bernoulli 卷积的一个结果。我们的证明依赖于一个源自 Erdős 的关键组合引理，该引理在估计振荡积分时很重要。文中还给出了在分形中正规数存在性上的一个应用。