一种具有 $m$ 交替收缩比率的谱测度类

对于定义在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的布尔概率测度 $\mu$，若其哈密顿空间 $L^{2}(\mu)$ 允许指数函数正交基，则称其为谱测度。本文研究由具有 $m$ 周期交替收缩比率的迭代函数系统（IFS）生成的分形测度的谱性。具体而言，对于固定的 $m,N\in\mathbb{N}^{+}$ 和 $\rho\in(0,1)$，我们定义 IFS 如下：$$\{\tau_d(\cdot)=(-1)^{\lfloor\frac{d}{m}\rfloor}\rho(\cdot+d)\}_{d\in D_{2Nm}},$$其中 $D_k=\{0,1,\cdots,k-1\}$，$\lfloor x\rfloor$ 表示下取整函数。我们证明，其关联的自相似测度 $\nu_{\rho,D_{2Nm}}$ 为谱测度，当且仅当 $\rho^{-1}=p\in\mathbb{N}$ 且 $2Nm\mid p$。此外，对于任意正整数 $p,s\geq2$，若 $m=1$ 且 $\gcd(p,s)=1$，我们显示 $\nu_{p^{-1},D_{s}}$ 不是谱测度，且 $L^2(\nu_{p^{-1},D_{s}})$ 中最多包含 $s$ 个相互正交的指数函数。这一结果概括了吴氏[25]的最新工作：[H.H. Wu, Spectral self-similar measures with alternate contraction ratios and consecutive digits, Adv. Math., 443 (2024), 109585]。