${\mathbb R}^d$（$d\ge 3$）中典型齐次自相似测度的傅里叶衰减与绝对连续性

我们考虑${\mathbb R}^d$（$d\ge 3$）中形式为$\{f_j(x) = \lambda {\mathcal O} x + a_j\}_{j=0}^m$的迭代函数系统（IFS），其中$a_0=0$且$m\ge 1$。这里$\lambda\in (0,1)$是压缩比，${\mathcal O}$是一个正交矩阵。给定一个正概率向量$p$，该IFS存在唯一的平稳测度，在此情况下称为齐自相似测度，我们将其记为$\mu(\lambda {\mathcal O}, {\mathcal D}, p)$，其中${\mathcal D} = \{a_0,\ldots,a_m\}$是“向量数字”的集合。我们获得了关于此类测度傅里叶衰减的两个结果。首先，我们证明如果${\mathcal D}$张成${\mathbb R}^d$，那么对于每个固定的${\mathcal O}$和$p$，测度$\mu(\lambda {\mathcal O}, {\mathcal D}, p)$对于除一个零豪斯多夫维数集之外的所有$\lambda$都具有幂律傅里叶衰减（等价于正的傅里叶维数）。在我们的第二个结果中，除了必要的仿射不可约性之外，我们对${\mathcal D}$不施加任何限制，并获得了几乎所有齐自相似测度的幂律傅里叶衰减；然而，这仅适用于偶数$d\ge 4$。结合Corso和Shmerkin最近的工作[arXiv:2409.04608]，这些结果意味着在相同假设下，在超临界参数区域中，几乎所有自相似测度都具有绝对连续性。