具有相等 Hausdorff 维数与 Lyapunov 维数的自仿射测度

设 $\mu$ 为 $\mathbb{R}^{d}$ 上对应于自仿射迭代函数系 $\{\varphi_{\lambda}(x) = A_{\lambda}x + v_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 和概率向量 $p=(p_{\lambda})_{\lambda}>0$ 的自仿射测度。假设强分离条件成立。令 $\gamma_{1}\ge...\ge\gamma_{d}$ 和 $D$ 为对应于 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 与 $p^{\mathbb{N}}$ 的 Lyapunov 指数与维度，并令 $\mathbf{G}$ 为由 $\{A_{\lambda}\}_{\lambda\in\Lambda}$ 生成的群。我们证明：若 $\gamma_{m+1}>\gamma_{m}=...=\gamma_{d}$，若 $\mathbf{G}$ 在交错 $m$-形式的向量空间上不可约作用，且若 Furstenberg 测度 $\mu_{F}$ 满足 $\dim_{H}\mu_{F}+D>(m+1)(d-m)$，则 $\mu$ 是精确维数的，且 $\dim\mu=D$。