矩阵乘积的李雅普诺夫指数

设${\bf M}=(M_1,\ldots, M_k)$为实$d\times d$矩阵元组。在某些不可约假设下，我们给出可检验的准则以判定${\bf M}$是否具有如下性质：存在两个常数$\lambda\in {\Bbb R}$和$C>0$，使得对任意$n\in {\Bbb N}$及任意$i_1, \ldots, i_n \in \{1,\ldots, k\}$，要么$M_{i_1} \cdots M_{i_n}={\bf 0}$，要么$C^{-1} e^{\lambda n} \leq \| M_{i_1} \cdots M_{i_n} \| \leq C e^{\lambda n}$，其中$\|\cdot\|$为矩阵范数。证明基于符号动力学与矩阵乘积的热力学形式。作为应用，我们得以检验${\Bbb R}$上一类重叠自相似测度的绝对连续性、${\Bbb R}^d$中某些自仿射测度的绝对连续性，以及平面上的一类sofic仿射不变集的维数正则性。