圆上随机动力系统的 Lyapunov 指数

我们考虑圆周保向微分同胚集合 $\{f_1,\ldots,f_m\}$ 中独立同分布序列的乘积。我们可自然关联一个 Lyapunov 指数 $\lambda$。在少量假设下，已知 $\lambda\leq 0$，且等号成立当且仅当 $f_1,\ldots,f_m$ 同时共轭于旋转。本文中，在 $f_1,\ldots,f_m$ 为旋转数的 $C^k$ 扰动且旋转数 $\rho(f_1),\ldots,\rho(f_m)$ 满足 Moser 意义下同时丢番图条件的情形，我们陈述了该事实的定量版本：给出 $\lambda$ 的精确估计（Taylor 展开），并证明存在微分同胚 $g$ 与旋转 $r_i$ 使得对 $i=1,\ldots m$ 有 $\mbox{dist}(gf_ig^{-1},r_i)\ll |\lambda|^{\frac{1}{2}}$。我们还陈述了对于 $2\times 2$ 矩阵随机乘积的类似结果，无需丢番图条件。