随机矩阵乘积的李雅普诺夫指数与特征值

令 $X_1,X_2, \ldots$ 为具有共同分布 $\mu$ 的 $i.i.d$ 实（复） $d \times d$ 可逆随机矩阵序列，且 $\sigma_1(n), \sigma_2(n), \ldots , \sigma_d(n)$ 为奇异值，$\lambda_1(n), \lambda_2(n), \ldots , \lambda_d(n)$ 为 $X_nX_{n-1}\cdots X_1$ 的特征值，对每个 $n$ 按其绝对值递减排序。已知若 $\mathbb{E}(\log^{+}\|X_1\|)< \infty$，则概率为1地对所有 $1 \leq p \leq d$，$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\log \sigma_p(n)=\gamma_p,$$ 其中 ${\gamma_1,\gamma_2 \ldots \gamma_d}$ 为与 $\mu$ 关联的李雅普诺夫指数。本文我们证明在 $\mu$ 的某些支撑和矩条件下，特征值的绝对值也表现出相同的渐近行为。事实上，奇异值与特征值之间成立一个更强的渐近关系，即对任意 $r>0$，概率为1地对所有 $1 \leq p \leq d$，$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^r}\log \left(\frac{|\lambda_p(n)|}{\sigma_p(n)}\right)= 0,$$ 这意味着特征值的涨落具有与相应奇异值相同的渐近分布。各向同性随机矩阵以及具有某些有限矩且支撑包含开集的有界密度的 $i.i.d$ 实元素随机矩阵，被证明满足上述关系成立所需的矩和支撑条件。