随机矩阵幂的奇异值的渐近分布

设 $x$ 为一个复随机变量，满足 ${\E {x}=0}$，${\E |x|^2=1}$，${\E |x|^{4} < \infty}$。设 $x_{ij}$，$i,j \in \{1,2,...\}$ 为 $x$ 的独立副本。设 ${\Xb=(N^{-1/2}x_{ij})}$，$1\leq i,j \leq N$ 为一个随机矩阵。记 $\Xb^*$ 为 $\Xb$ 的伴随矩阵，考虑乘积 $\Xb^m{\Xb^*}^m$，其中 $m \in \{1,2,...\}$。矩阵 $\Xb^m{\Xb^*}^m$ 是 Hermite 半正定的。设 $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_N$ 为 $\Xb^m{\Xb^*}^m$ 的特征值（或矩阵 $\Xb^m$ 的奇异值的平方）。本文我们找到了经验分布函数 ${F_N^{(m)}(x)} = N^{-1} \sum_{k=1}^N {\mathbb{I}{\{\lambda_k \leq x\}}}$ 的渐近分布函数 $$G^{(m)}(x)=\lim_{N\to\infty}\E{F_N^{(m)}(x)}$$，其中 $\mathbb{I} \{A\}$ 表示事件 $A$ 的指示函数。$G^{(m)}$ 的矩满足 $$M^{(m)}_p=\int_{\mathbb{R}}{x^p dG^{(m)}(x)}=\frac{1}{mp+1}\binom{mp+p}{p}。$$ 在自由概率论中，$M^{(m)}_p$ 被称为 Fuss-Catalan 数。当 $m=1$ 时，我们的结果退化为 Marchenko-Pastur 1967 年的著名结果。