实数球面ensemble中实特征值分布的渐近分析

实数Ginibre球面ensemble由形如 $A B^{-1}$ 的随机矩阵组成，其中 $A,B$ 是独立的标准实Gaussian $N \times N$ 矩阵。其期望实特征值的数量已知为 $\sqrt{N}$ 级别。我们考虑各种情形下存在 $M$ 个实特征值的概率 $p_{N,M}^{\rm r}$，包括 $M$ 与 $N$ 成比例时（大偏差）、$N$ 与 $\sqrt{N}$ 成比例时（中间偏差）以及 $M$ 位于均值附近时（局部中心极限定理）。我们采用库仑气体形式对大偏差情形进行分析，并通过确定中间偏差情形下生成函数的主渐近形式来处理（局部中心极限情形已由早期工作知晓）。此外，我们展示了中间偏差情形左尾渐近形式与大偏差情形右尾渐近形式的匹配情况，以及中间偏差情形右尾渐近形式与局部中心极限情形概率的主导级数形式的匹配。我们还给出 $p_{N,0}^{\rm r}$ 的主渐近形式，即无实特征值的概率。