Ginibre 系综的指标分布

复杂系统，特别是随机神经网络，通常由没有特定对称性的随机相互作用动力系统来描述。在这种背景下，刻画相关方向的数量需要对 Ginibre 系综进行精细估计。在这篇快报中，我们解析计算了实或复 Ginibre 系综中大 $N\times N$ 随机矩阵的模大于 $R$ 的特征值数量 $N_R$（即指标）的概率分布。我们表明，分数 $N_R/N=p$ 的分布缩放为 $\exp(-\beta N^2 \psi_R(p))$，其中对于复（分别为实）Ginibre 系综，$\beta=1$（分别为 $\beta=1/2$）。对于任意 $p\in[0,1]$，我们明确推导了平衡谱密度以及速率函数 $\psi_R(p)$。该函数在临界（最小）值 $p^*_R=1-R^2$ 处表现出三阶相变，这与库仑气体的相变相关。我们推断，在中心区域，指标 $N_R$ 围绕其典型值 $p^*_R N$ 的波动缩放为 $N^{1/3}$。