高斯随机矩阵的指数分布

我们解析计算了，对于大N，属于高斯正交系综（$\beta=1$）、幺正系综（$\beta=2$）或辛系综（$\beta=4$）的随机N×N矩阵的正本征值个数（指数$N_{+}$）的概率分布。正本征值比例$c=N_{+}/N$的分布，对于大N，标度为$\text{Prob}(c,N)\simeq\exp[-\beta N^2 \Phi(c)]$，其中速率函数$\Phi(c)$关于$c=1/2$对称且是普适的（与$\beta$无关），我们精确计算了该函数。该分布具有非高斯尾部，但即使在$c=1/2$的峰值附近，由于速率函数中存在一个异常的对数奇点，它也不是严格高斯的。