高斯随机矩阵的谱序统计：受陷费米子的大偏差及相关相变

我们计算了零温下谐波势阱中一维费米子气体的完整序统计量，包括其大偏差尾部。该问题等价于计算大维度高斯随机矩阵第 $k$ 小本征值 $\lambda_{(k)}$ 的概率分布。我们发现，对于大 $N$，该概率表现为 $\mathcal{P}[\lambda_{(k)}=x]\approx \exp\left(-\beta N^2 \psi(k/N,x)\right)$，其中 $\beta$ 是该系综的 Dyson 指数。速率函数 $\psi(c,x)$ 被显式计算为强度标签 $c=k/N$ 和 $x$ 的函数，其在最小值处呈现由弱对数奇点调制的二次行为。这表明其与相关的库仑气体问题中的相变有关。同时也阐明了其与随机矩阵极值本征值统计的联系。