高斯随机矩阵条件数分布中的相变

我们研究了 $N\times M$ 高斯随机矩阵的条件数 $\kappa=\lambda_{\mathrm{max}}/\lambda_{\mathrm{min}}$（最大与最小平方奇异值之比）的统计特性。利用库仑流体技术，我们解析地推导出了大 $N$ 极限下 $\kappa$ 的累积分布 $\mathcal{P}[\kappa<x]$ 和尾累积分布 $\mathcal{P}[\kappa>x]$。我们发现这些分布的衰减形式为 $\mathcal{P}[\kappa<x]\approx\exp\left(-\beta N^2 \Phi_{-}(x)\right)$ 和 $\mathcal{P}[\kappa>x]\approx\exp\left(-\beta N \Phi_{+}(x)\right)$，其中 $\beta$ 是该系综的 Dyson 指数。左右速率函数 $\Phi_{\pm}(x)$ 独立于 $\beta$，并且对于任意矩形度参数 $\alpha=M/N-1>0$ 的选择均可精确计算。有趣的是，它们在其最小值 $\langle\kappa\rangle$（对应于平均条件数）处表现出微弱的非解析行为，这是相关库仑流体问题中相变的直接后果。通过匹配速率函数在 $\langle\kappa\rangle$ 附近的行为，我们精确确定了典型涨落的尺度 $\sim\mathcal{O}(N^{-2/3})$ 以及 $\kappa$ 极限分布的尾部。解析结果与数值模拟吻合极好。