$\beta$ 随机矩阵边缘的线性统计与受推库仑气体:大偏差的四条路径

Airy$_\beta$ 点过程 $a_i \equiv N^{2/3} (\lambda_i-2)$ 描述了大矩阵尺寸 $N \to \infty$ 时高斯 $\beta$ 系综随机矩阵在边缘处的特征值 $\lambda_i$。我们研究大参数 $t$ 下线性统计 ${\sf L}= \sum_i t \varphi(t^{-2/3} a_i)$ 的概率分布函数(PDF)。我们给出累积量生成函数和 PDF 的大偏差形式 $\mathbb{E}_{{\rm Airy},\beta}[\exp(-{\sf L})] \sim \exp(- t^2 \Sigma[\varphi])$ 和 $P({\sf L}) \sim \exp(- t^2 G(L/t^2))$。我们使用四种看似不同的方法得到精确速率函数 $\Sigma[\varphi]$:(i) 库仑气体的静电学 (ii) 随机薛定谔问题,即随机 Airy 算子 (iii) 累积量展开 (iv) 非局部非线性微分 Painlevé 型方程。每种方法都曾独立引入以获得 KPZ 方程的下尾。此处我们在更一般的框架中展示它们的等价性。我们的结果针对一类函数 $\varphi$(单调软壁)获得,该类包含单项式 $\varphi(x)=(u+x)_+^\gamma$ 和指数函数 $\varphi(x)=e^{u+x}$,并等价地描述了在其边缘受推的库仑气体的响应。超额能量 $\Sigma[\varphi]$ 的小 $u$ 行为在 $\gamma=3/2$ 处表现出变化:对于 $\gamma<3/2$ 为非微扰的硬壁类 regime(三阶自由到受推转变),对于 $\gamma>3/2$ 为边缘的微扰形变(高阶转变)。给出了应用,其中包括:(i) 截断线性统计如 $\sum_{i=1}^{N_1} a_i$,导出 $N_1 \gg 1$ 个非相互作用费米子在线性加随机势中基态能量 PDF 的公式 (ii) 费米气体边缘陷阱中 $(\beta-2)/r^2$ 相互作用无自旋费米子 (iii) 随机矩阵大幂次的迹。