库仑气体的线性统计量：高阶累积量

我们考虑 $N$ 个经典粒子在空间维数 $d$ 中通过库仑势相互作用，并处于外势阱中，在逆温度 $\beta$ 下达到平衡。在 $N$ 很大的极限下，粒子被限制在有限尺寸的液滴内。我们研究光滑线性统计量，即形如 ${\cal L}_N = \sum_{i=1}^N f({\bf x}_i)$ 的和的涨落，其中 ${\bf x}_i$ 为粒子位置，$f({\bf x}_i)$ 为充分正则的函数。目前已有关于大 $N$ 极限下 ${\cal L}_N$ 一阶与二阶矩的标准结果，以及一般维数与广泛类约束势下的相应中心极限定理。本文在 $f({\bf x})=f(|{\bf x}|)$ 与约束势均旋转不变时，得到了大 $N$ 下 ${\cal L}_N$ 高阶累积量的显式表达式。我们结果的一个显著特征是这些高阶累积量仅依赖于 $f'(|{\bf x}|)$ 及其高阶导数在液滴边界（此时为 $d$ 维球面）处的取值。在 $d=2$ 且特殊值 $\beta=2$ 的二维情形下，与 Ginibre 系综的关联使我们能借助行列式点过程的工具以另一种方式导出这些结果。最后我们还得到了 ${\cal L}_N$ 完整概率分布函数的大偏差形式。